Giải bài 4.13 trang 58 SGK Toán 10 tập 1

Đề bài

Cho hai điểm phân biệt A và B.

Bạn đang xem bài: Giải bài 4.13 trang 58 SGK Toán 10 tập 1

a) Hãy xác định điểm K sao cho \(\overrightarrow {KA}  + 2\overrightarrow {KB}  = \overrightarrow 0 \).

b) Chứng minh rằng với mọi điểm O, ta có \(\overrightarrow {OK}  = \frac{1}{3}\overrightarrow {OA}  + \frac{2}{3}\overrightarrow {OB} .\)

Nhắc lại: Với ba điểm A, B, C bất kì ta luôn có:  \(\overrightarrow {AB}  + \overrightarrow {BC}  = \overrightarrow {AC} \)

a)

Cách 1: Nhận xét về phương chiều, độ lớn của hai vecto \(\overrightarrow {KA} \) và \(\;\overrightarrow {KB} \), suy ra vị trí điểm K.

Cách 2: Biểu diễn vecto \(\overrightarrow {KA} \) hoặc \(\;\overrightarrow {KB} \)) theo vecto \(\;\overrightarrow {AB} \).

b)

Biểu diễn vecto \(\overrightarrow {OK} \) bằng cách chèn điểm: \(\overrightarrow {OA}  = \overrightarrow {OK}  + \overrightarrow {KA} ;\;\,\overrightarrow {OB}  = \overrightarrow {OK}  + \overrightarrow {KB} .\)

Lời giải chi tiết

a)

Cách 1:

Ta có: \(\overrightarrow {KA}  + 2\overrightarrow {KB}  = \overrightarrow 0 \).

\( \Leftrightarrow \overrightarrow {KA}  =  – 2\overrightarrow {KB} \)

Suy ra vecto \(\overrightarrow {KA} \) và vecto\(\;\overrightarrow {KB} \) cùng phương, ngược chiều và \(KA = 2.KB\)

\( \Rightarrow K,A,B\)thẳng hàng, K nằm giữa A và B thỏa mãn: \(KA = 2.KB\)

Cách 2:

Ta có: \(\overrightarrow {KA}  + 2\overrightarrow {KB}  = \overrightarrow 0 \).

\(\begin{array}{l} \Leftrightarrow \left( {\overrightarrow {KB}  + \overrightarrow {BA} } \right) + 2\overrightarrow {KB}  = \overrightarrow 0 \\ \Leftrightarrow 3.\overrightarrow {KB}  + \overrightarrow {BA}  = \overrightarrow 0 \\ \Leftrightarrow 3.\overrightarrow {KB}  = \overrightarrow {AB} \\ \Leftrightarrow \overrightarrow {KB}  = \frac{1}{3}\overrightarrow {AB} \end{array}\)

Vậy K thuộc đoạn AB sao cho \(KB = \frac{1}{3}AB\).

b)

Để \(\overrightarrow {OK}  = \frac{1}{3}\overrightarrow {OA}  + \frac{2}{3}\overrightarrow {OB} .\)

\(\begin{array}{l} \Rightarrow \overrightarrow {OK}  = \frac{1}{3}\left( {\overrightarrow {OK}  + \overrightarrow {KA} } \right) + \frac{2}{3}\left( {\overrightarrow {OK}  + \overrightarrow {KB} } \right)\\ \Leftrightarrow \overrightarrow {OK}  = \left( {\frac{1}{3}\overrightarrow {OK}  + \frac{2}{3}\overrightarrow {OK} } \right) + \left( {\frac{1}{3}\overrightarrow {KA}  + \frac{2}{3}\overrightarrow {KB} } \right)\\ \Leftrightarrow \overrightarrow {OK}  = \overrightarrow {OK}  + \frac{1}{3}\left( {\overrightarrow {KA}  + 2\overrightarrow {KB} } \right)\\ \Leftrightarrow \overrightarrow {OK}  = \overrightarrow {OK}  + \frac{1}{3}.\overrightarrow 0 \\ \Leftrightarrow \overrightarrow {OK}  = \overrightarrow {OK} .\end{array}\)

Hiển nhiên đúng với mọi điểm O.

Vậy với mọi điểm O, ta có \(\overrightarrow {OK}  = \frac{1}{3}\overrightarrow {OA}  + \frac{2}{3}\overrightarrow {OB} .\)

Chú ý khi giải:

Với những biểu thức đơn giản (chỉ có 3 điểm) thì từ giải thiết ta có thể suy ra ngay phương, chiều, độ dài của chúng để xác định điểm M.

Với các biểu thức phức tạp hơn (có nhiều hơn 3 điểm) thì nên sử dụng phương pháp như trên: quy về một vecto chưa biết, được biểu diễn qua các vecto đã biết.

Trích nguồn: THPT Đồng Hới
Danh mục: Toán 10

Related Posts

Leave a Reply

Your email address will not be published. Required fields are marked *