Chứng minh các hệ thức sau:
a) ({sin ^2}alpha + {cos ^2}alpha = 1).
Bạn đang xem bài: Giải bài 3.3 trang 37 SGK Toán 10 tập 1 –
b) (1 + {tan ^2}alpha = frac{1}{{{{cos }^2}alpha }}quad (alpha ne {90^o}))
c) (1 + {cot ^2}alpha = frac{1}{{{{sin }^2}alpha }}quad ({0^o} < alpha < {180^o}))
LG a
a) ({sin ^2}alpha + {cos ^2}alpha = 1).
Bạn đang xem bài: Giải bài 3.3 trang 37 SGK Toán 10 tập 1 –
Phương pháp giải:
Bước 1: Vẽ đường tròn lượng giác, lấy điểm M biểu diễn góc (alpha ) bất kì.
Bước 2: Xác định (sin alpha ,;cos alpha )( tương ứng với tung độ và hoành độ của điểm M).
Bước 3: Suy ra đẳng thức cần chứng minh.
Lời giải chi tiết:
Gọi M(x;y) là điểm trên đường tròn đơn vị sao cho (widehat {xOM} = alpha ). Gọi N, P tương ứng là hình chiếu vuông góc của M lên các trục Ox, Oy.
Ta có: (left{ begin{array}{l}x = cos alpha \y = sin alpha end{array} right. Rightarrow left{ begin{array}{l}{cos ^2}alpha = {x^2}\{sin ^2}alpha = {y^2}end{array} right.)(1)
Mà (left{ begin{array}{l}left| x right| = ON\left| y right| = OP = MNend{array} right. Rightarrow left{ begin{array}{l}{x^2} = {left| x right|^2} = O{N^2}\{y^2} = {left| y right|^2} = M{N^2}end{array} right.)(2)
Từ (1) và (2) suy ra ({sin ^2}alpha + {cos ^2}alpha = O{N^2} + M{N^2} = O{M^2}) (do (Delta OMN) vuông tại N)
( Rightarrow {sin ^2}alpha + {cos ^2}alpha = 1) (vì OM =1). (đpcm)
LG b
b) (1 + {tan ^2}alpha = frac{1}{{{{cos }^2}alpha }}quad (alpha ne {90^o}))
Phương pháp giải:
Bước 1: Viết (tan alpha ) dưới dạng (frac{{sin alpha }}{{cos alpha }};;(alpha ne {90^o})), thay vào vế trái.
Bước 2: Biến đổi vế trái bằng cách quy đồng, kết hợp với ý a) để suy ra vế phải.
Lời giải chi tiết:
Ta có: (tan alpha = frac{{sin alpha }}{{cos alpha }};;(alpha ne {90^o}))
( Rightarrow 1 + {tan ^2}alpha = 1 + frac{{{{sin }^2}alpha }}{{{{cos }^2}alpha }} = frac{{{{cos }^2}alpha }}{{{{cos }^2}alpha }} + frac{{{{sin }^2}alpha }}{{{{cos }^2}alpha }} = frac{{{{sin }^2}alpha + {{cos }^2}alpha }}{{{{cos }^2}alpha }})
Mà theo ý a) ta có ({sin ^2}alpha + {cos ^2}alpha = 1) với mọi góc (alpha )
( Rightarrow 1 + {tan ^2}alpha = frac{1}{{{{cos }^2}alpha }}) (đpcm)
Câu 3
c) (1 + {cot ^2}alpha = frac{1}{{{{sin }^2}alpha }}quad ({0^o} < alpha < {180^o}))
Phương pháp giải:
Bước 1: Viết (cot alpha ) dưới dạng (frac{{cos alpha }}{{sin alpha }};), thay vào vế trái.
Bước 2: Biến đổi vế trái bằng cách quy đồng, kết hợp với ý a) để suy ra vế phải.
Lời giải chi tiết:
Ta có: (cot alpha = frac{{cos alpha }}{{sin alpha }};;;({0^o} < alpha < {180^o}))
( Rightarrow 1 + {cot ^2}alpha = 1 + frac{{{{cos }^2}alpha }}{{{{sin }^2}alpha }} = frac{{{{sin }^2}alpha }}{{{{sin }^2}alpha }} + frac{{{{cos }^2}alpha }}{{{{sin }^2}alpha }} = frac{{{{sin }^2}alpha + {{cos }^2}alpha }}{{{{sin }^2}alpha }})
Mà theo ý a) ta có ({sin ^2}alpha + {cos ^2}alpha = 1) với mọi góc (alpha )
( Rightarrow 1 + {cot ^2}alpha = frac{1}{{{{sin }^2}alpha }}) (đpcm)
Trích nguồn: THPT Đồng Hới
Danh mục: Toán 10
