Toán 12

Bài 9 trang 224 Sách bài tập Hình học lớp 12 Nâng cao.

Cho hình chóp S.ABC. Biết rằng các điểm A, B, C và các trung điểm A, B, C‘ của các cạnh SA, SB, SC cùng thuộc một mặt cầu bán kính R.

LG 1

Bạn đang xem bài: Bài 9 trang 224 Sách bài tập Hình học lớp 12 Nâng cao.

Chứng minh rằng tâm mặt cầu ngoại tiếp hình chóp S.ABC thuộc đường cao SH của hình chóp.

Lời giải chi tiết:

bai 9 trang 224 sbt hh 12 nc

Vì A, B, A‘, B‘ cùng thuộc một mặt cầu và AB//AB nên ABBA‘ là hình thang cân, từ đó SA = SB. Lập luận tương tự ta có SB = SC.

Vậy SA = SB = SC.

Suy ra đường cao SH của hình chóp S.ABC chính là trục của tam giác ABC. Do đó, tâm của mặt cầu ngoại tiếp hình chóp S.ABC thuộc SH.

LG 2

Cho góc giữa đường thẳng SC và mặt phẳng (ABC) bằng 60°, chứng minh rằng H là tâm của mặt cầu đi qua sáu điểm A, B,C, A’ ,B’ ,C’.

Khi đó, hãy tính diện tích mặt cầu ngoại tiếp hình chóp S.ABC.

Lời giải chi tiết:

Ta sẽ chứng minh H chính là tâm của mặt cầu đi qua các điểm AB, C, A‘, B‘, C‘, Thật vậy, do SH \( \bot \) mp(ABC) nên  từ đó \(HC{\rm{ }} = {1 \over 2}SC,\) mặt khác CS = CC nên\(HC’ = {1 \over 2}SC\).

Từ chứng minh trên ta có HA = HB = HC = HC‘ = HA‘ = HB’, tức H là tâm của mặt cầu đi qua A, B, C, A, B, C.

Gọi G là trung điểm của CC thì HG \( \bot \) SC. Kẻ CH‘ song song với GH \(\left( {H’ \in SH} \right)\) thì HS = HC, từ đó H‘ là tâm mặt cầu ngoại tiếp hình chóp S.ABC và HS là bán kính mặt cầu ngoại tiếp S.ABC.

Ta có \(H'{S^2} = H’C{‘^2} + SC'{^2}\) ,mặt khác

\(H’C’ = {2 \over 3}HG,HG = {{R\sqrt 3 } \over 2},SC’ = {{SC} \over 2} = R.\)

Từ đó \(H'{S^2} = {\left( {{2 \over 3}.{{R\sqrt 3 } \over 2}} \right)^2} + {R^2} = {{{R^2}} \over 3} + {R^2} = {{4{R^2}} \over 3}.\)

Vậy diện tích mặt cầu ngoại tiếp hình chóp S.ABC là \({{16\pi {R^2}} \over 3}.\)

THPT Đồng Hới

Trích nguồn: THPT Đồng Hới
Danh mục: Toán 12

THPT Đồng Hới

THPT Đồng Hới

Trả lời

Email của bạn sẽ không được hiển thị công khai.

Back to top button