Toán 11

Bài 3 trang 97 SGK Đại số và Giải tích 11

Bài 3 trang 97 SGK Đại số và Giải tích 11

Video hướng dẫn giải

Bạn đang xem bài: Bài 3 trang 97 SGK Đại số và Giải tích 11

Trong các bài toán về cấp số cộng, ta thường gặp năm đại lượng \(u_1, n, d, u_n, S_n\).

LG a

Hãy viết các hệ thức liên hệ giữa các đại lượng để có thể tìm được các đại lượng còn lại?

Phương pháp giải:

Sử dụng các công thức:

\(\begin{array}{l}
{u_n} = {u_1} + \left( {n – 1} \right)d\\
{S_n} = n{u_1} + \frac{{n\left( {n – 1} \right)}}{2}d
\end{array}\)

Lời giải chi tiết:

Ta có:

\(\begin{array}{l}
{u_n} = {u_1} + (n – 1).d\\
\Rightarrow n = \frac{{{u_n} – {u_1}}}{d} + 1;\;\;d = \frac{{{u_n} – {u_1}}}{{n – 1}}\\
{S_n} = n.{u_1} + \frac{{n(n – 1)}}{2}.d\;\; \Rightarrow {u_1} = \frac{{2.{S_n} – n(n – 1).d}}{{2n}}\\
{S_n} = \frac{{n({u_1} + {u_n})}}{2}\;\; \Rightarrow {u_1} = \frac{{2.{S_n} – n.{u_n}}}{n}
\end{array}\)

Dựa vào các công thức trên thấy cần phải biết ít nhất 3 đại lượng để tìm được các đại lượng còn lại.

LG b

Lập bảng theo mẫu sau và điền vào chỗ trống thích hợp:

\({u_1}\)

d

\({u_n}\)

n

\({S_n}\)

-2

55

20

-4

15

120

3

\({4 \over {27}}\)

7

17

12

72

2

-5

-205

Lời giải chi tiết:

Dòng đầu: Biết \({u_1} =  – 2;{u_{20}} = 55\). Tìm và \({S_{20}}\).

Ta có \({u_{20}} = {u_1} + 19d\)

\(\Leftrightarrow 55 =  – 2 + 19d \Leftrightarrow d = 3\)

\({S_{20}} = \frac{{20\left( {{u_1} + {u_{20}}} \right)}}{2} \) \(= \frac{{20.\left( { – 2 + 55} \right)}}{2} = 530\)

Dòng 2: Biết \(d =  – 4;\,\,{S_{15}} = 120\), tìm \({u_1}\) và \({u_{15}}\).

Ta có \({S_{15}} = 15{u_1} + \frac{{15.\left( {15 – 1} \right)}}{2}.d \)

\(\Leftrightarrow 120 = 15.{u_1} + 105.\left( { – 4} \right) \)

\(\Leftrightarrow 15{u_1} = 540 \Leftrightarrow {u_1} = 36\)

\( \Rightarrow {u_{15}} = {u_1} + 14d = 36 + 14.\left( { – 4} \right) =  – 20\)

Dòng 3: Biết \({u_1} = 3;\,\,d = {4 \over {27}};\,\,{u_n} = 7\). Tìm và tính \({S_n}\).

Ta có \({u_n} = {u_1} + \left( {n – 1} \right)d \)

\(\Leftrightarrow 7 = 3 + \left( {n – 1} \right).{4 \over {27}} \Leftrightarrow n = 28\)

\({S_{28}} = 28{u_1} + \frac{{28.\left( {28 – 1} \right)}}{2}.d \)

\(= 28.3 + 378.\frac{4}{{27}} = 140\)

Dòng 4: Biết \({u_{12}} = 17\) và \({S_{12}} = 72\). Tìm \({u_1}\) và \(d\).

\(\begin{array}{l}
{S_{12}} = \frac{{12\left( {{u_1} + {u_{12}}} \right)}}{2}\\
\Leftrightarrow 72 = \frac{{12\left( {{u_1} + 17} \right)}}{2}\\
\Leftrightarrow {u_1} + 17 = 12\\
\Leftrightarrow {u_1} = – 5\\
{u_{12}} = {u_1} + 11d\\
\Leftrightarrow 17 = – 5 + 11d\\
\Leftrightarrow 22 = 11d \Leftrightarrow d = 2
\end{array}\)

Dòng 5: Biết \({u_1} = 2;d =  – 5\) và \({S_n} =  – 205\). Tìm n và tính \({u_n}\).

Ta có

\(\begin{array}{l}
{S_n} = n{u_1} + \frac{{n\left( {n – 1} \right)}}{2}d\\
\Leftrightarrow – 205 = n.2 + \frac{{n\left( {n – 1} \right)}}{2}.\left( { – 5} \right)\\
\Leftrightarrow – 410 = 4n – 5n\left( {n – 1} \right)\\
\Leftrightarrow 5{n^2} – 9n – 410 = 0\\
\Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}
n = 10\\
n = – \frac{{41}}{5}\left( {loai} \right)
\end{array} \right.\\
\Rightarrow n = 10\\
\Rightarrow {u_{10}} = {u_1} + 9d\\
= 2 + 9.\left( { – 5} \right) = – 43
\end{array}\)

Vậy ta điền được bảng như sau :

\({u_1}\)

d

\({u_n}\)

n

\({S_n}\)

-2

3

55

20

530

36

-4

-20

15

120

3

\({4 \over {27}}\)

7

28

140

-5

2

17

12

72

2

-5

-43

10

-205

THPT Đồng Hới

Trích nguồn: THPT Đồng Hới
Danh mục: Toán 11

THPT Đồng Hới

THPT Đồng Hới

Trả lời

Email của bạn sẽ không được hiển thị công khai.

Back to top button