Toán 12

Bài 21 trang 118 Sách bài tập Hình học lớp 12 Nâng cao

Trong không gian Oxyz cho bốn điểm A(1;1;0), B(0;2;1), C(1;0;2), D(1;1;1).

LG a

Bạn đang xem bài: Bài 21 trang 118 Sách bài tập Hình học lớp 12 Nâng cao

Chứng minh bốn điểm đó không đồng phẳng. Tính thể tích tứ diện ABCD.

Lời giải chi tiết:

\(\overrightarrow {AB}  = ( – 1;1;1),\overrightarrow {AC}  = (0; – 1;2),\overrightarrow {AD}  = (0;0;1)\)

Ta có : \(\left[ {\overrightarrow {AB} .\overrightarrow {AC} } \right].\overrightarrow {AD}  = 1 \ne 0 \Rightarrow \overrightarrow {AB} ,\overrightarrow {AC} ,\overrightarrow {AD} \) không đồng phẳng. Do đó bốn điểm A, B, C, D không đồng phẳng và

\({V_{ABCD}} = {1 \over 6}\left| {\left[ {\overrightarrow {AB} ,\overrightarrow {AC} } \right].\overrightarrow {AD} } \right| = {1 \over 6}.\)

LG b

Tìm tọa độ trọng tâm của tam giác ABC, trọng tâm của tứ diện ABCD.

Lời giải chi tiết:

Gọi G là trọng tâm của tam giác ABC thì \(G = \left( {{2 \over 3};1;1} \right)\)

Gọi G’ là trọng tâm của tứ diện ABCD thì \(G’ = \left( {{3 \over 4};1;1} \right)\)

LG c

Tính diện tích các mặt của tứ diện ABCD.

Lời giải chi tiết:

\({S_{ABC}} = {1 \over 2}\left| {\left[ {\overrightarrow {AB} .\overrightarrow {AC} } \right]} \right| \)

\(= {1 \over 2}\sqrt {\left| \matrix{  1 \hfill \cr   – 1 \hfill \cr}  \right.{{\left. \matrix{  1 \hfill \cr  1 \hfill \cr}  \right|}^2} + \left| \matrix{  1 \hfill \cr  2 \hfill \cr}  \right.{{\left. \matrix{   – 1 \hfill \cr  0 \hfill \cr}  \right|}^2} + \left| \matrix{   – 1 \hfill \cr  0 \hfill \cr}  \right.{{\left. \matrix{  1 \hfill \cr   – 1 \hfill \cr}  \right|}^2}}  = {{\sqrt {14} } \over 2}\)

\(\eqalign{  & {S_{ACD}} = {1 \over 2}\left| {\left[ {\overrightarrow {AC} ,\overrightarrow {AD} } \right]} \right|\cr& = {1 \over 2}\sqrt {\left| \matrix{   – 1 \hfill \cr  0 \hfill \cr}  \right.{{\left. \matrix{  2 \hfill \cr  1 \hfill \cr}  \right|}^2} + \left| \matrix{  2 \hfill \cr  1 \hfill \cr}  \right.{{\left. \matrix{  0 \hfill \cr  0 \hfill \cr}  \right|}^2} + \left| \matrix{  0 \hfill \cr  0 \hfill \cr}  \right.{{\left. \matrix{   – 1 \hfill \cr  0 \hfill \cr}  \right|}^2}}  = {1 \over 2}.  \cr  & {S_{ADB}} = {1 \over 2}\left| {\left[ {\overrightarrow {AD} ,\overrightarrow {AB} } \right]} \right| \cr&= {1 \over 2}\sqrt {\left| \matrix{  0 \hfill \cr  1 \hfill \cr}  \right.{{\left. \matrix{  1 \hfill \cr  1 \hfill \cr}  \right|}^2} + \left| \matrix{  1 \hfill \cr  1 \hfill \cr}  \right.{{\left. \matrix{  0 \hfill \cr   – 1 \hfill \cr}  \right|}^2} + \left| \matrix{  0 \hfill \cr   – 1 \hfill \cr}  \right.{{\left. \matrix{  0 \hfill \cr  1 \hfill \cr}  \right|}^2}}  = {{\sqrt 2 } \over 2}.  \cr  & {S_{BCD}} = {1 \over 2}\left| {\left[ {\overrightarrow {BC} ,\overrightarrow {BD} } \right]} \right| \cr&= {1 \over 2}\sqrt {\left| \matrix{   – 2 \hfill \cr   – 1 \hfill \cr}  \right.{{\left. \matrix{  1 \hfill \cr  0 \hfill \cr}  \right|}^2} + \left| \matrix{  1 \hfill \cr  0 \hfill \cr}  \right.{{\left. \matrix{  1 \hfill \cr  1 \hfill \cr}  \right|}^2} + \left| \matrix{  1 \hfill \cr  1 \hfill \cr}  \right.{{\left. \matrix{   – 2 \hfill \cr   – 1 \hfill \cr}  \right|}^2}}  = {{\sqrt 3 } \over 2}. \cr} \)

LG d

Tính độ dài các đường cao của tứ diện ABCD.

Lời giải chi tiết:

Từ công thức tính thể tích khối tứ diện \(V = {1 \over 3}Bh\) (B là diện tích đáy,hlaf chiều cao tương ứng ) ta suy ra \(h = {{3V} \over B}.\)

Vậy nếu gọi \({h_A},{h_B},{h_C},{h_D}\) lần lượt là chiều cao hạ từ đỉnh A, B,C, D thì ta có :

\(\eqalign{  & {h_A} = {{3V} \over {{S_{BCD}}}} = {{3.{1 \over 6}} \over {{{\sqrt 3 } \over 2}}} = {1 \over {\sqrt 3 }},\cr&{h_B} = {{3V} \over {{S_{ACD}}}} = {{3.{1 \over 6}} \over {{1 \over 2}}} = 1.  \cr  & {h_C} = {{3V} \over {{S_{ABD}}}} = {{3.{1 \over 6}} \over {{{\sqrt 2 } \over 2}}} = {1 \over {\sqrt 2 }},\cr&{h_D} = {{3V} \over {{S_{ABC}}}} = {{3.{1 \over 6}} \over {{{\sqrt {14} } \over 2}}} = {1 \over {\sqrt {14} }}. \cr} \)

LG e

Tính góc giữa hai đường thẳng AB và CD.

Lời giải chi tiết:

Vì \(\overrightarrow {AB}  = ( – 1;1;1),\overrightarrow {CD}  = (0;1; – 1)\) nên \(\overrightarrow {AB} .\overrightarrow {CD}  = 0\), suy ra góc giữa AB  và CD bằng 900.

LG g

Viết phương trình mặt cầu ngoại tiếp tứ diện ABCD.

Lời giải chi tiết:

Gọi I(x;y;z) là tâm mặt cầu ngoại tiếp tứ diện ABCD. Khi đó, ta có

\( \left\{ \matrix{  I{A^2} = I{B^2} \hfill \cr  I{A^2} = I{C^2} \hfill \cr  I{A^2} = ID \hfill \cr}  \right.\) 

bai 21 trang 117 sbt hh 12 nc

\(  \Leftrightarrow \left\{ \matrix{   – 2x + 2y + 2z = 3 \hfill \cr   – 2y + 4z = 3 \hfill \cr  2z = 1 \hfill \cr}  \right. \Leftrightarrow \left\{ \matrix{  x =  – {3 \over 2} \hfill \cr  y =  – {1 \over 2} \hfill \cr  z = {1 \over 2}. \hfill \cr}  \right.  \)

Vậy tâm của mặt cầu ngoại tiếp tứ giác ABCD là \(I\left( { – {3 \over 2}; – {1 \over 2};{1 \over 2}} \right)\) và bán kính của mặt cầu đó là

\(R = ID = \sqrt {{{\left( {{5 \over 2}} \right)}^2} + {{\left( {{3 \over 2}} \right)}^2} + {{\left( {{1 \over 2}} \right)}^2}}  = {{\sqrt {35} } \over 2}.\)

Do đó, phương trình mặt cầu ngoại tiếp tứ diện ABCD là

\({\left( {x + {3 \over 2}} \right)^2} + {\left( {y + {1 \over 2}} \right)^2} + {\left( {z – {1 \over 2}} \right)^2} = {{35} \over 4}.\)

THPT Đồng Hới

Trích nguồn: THPT Đồng Hới
Danh mục: Toán 12

THPT Đồng Hới

THPT Đồng Hới

Trả lời

Email của bạn sẽ không được hiển thị công khai.

Back to top button